Introducción a Octave para la Docencia en la UCA

Tercera sesión

Guillem Borrell i Nogueras

10-13 de Junio de 2008

Temario

• Lenguaje Matlab.
• Sistemas de ecuaciones lineales.
• Integración numérica.
• Polinomios, interpolación y regresión.
• Representación gráfica.
• EDOs.
• Análisis de señales.
• ¿Sugerencias?

Representación gráfica

• Repesentar datos gráficamente en Matlab es muy sencillo e intuitivo
• Las funciones son pocas porque no hay demasiadas necesidades
• Matlab incluye un visualizador que no veremos
• No hay que dejarse encandilar por las posibilidades en represtentación gráfica:
  • Ley no escrita: Si mejor un número que una curva, mejor una curva que una superfície y si tienes que representar una superfície posiblemente estés haciendo algo mal.
• Sólo veremos curvas en el plano. El resto tiene mucho menos misterio y utilidad.

Plot

La manera más sencilla de representar datos es mediante la función plot

>> x=linspace(0,500,100000);
>> plot(x,exp(-x/100).*sin(x))

Para dibujar la función `e^{-x/100}\sin x` con `x \in [0,500]`

Plot II

El resultado...

Plot III

Los atributos de las gráficas se introducen con la ventana activa

>> title('Una función cualquiera')
>> xlabel('Tiempo')
>> ylabel('Amplitud')

Plot IV

El resultado...

Plot V

Dentro del mismo comando podemos poner varias curvas con distintos estilos:

>> x=linspace(-pi,pi,100);
>> plot(x,sin(x),'m:',...
x,cos(x),'k^',x,tan(x),'bx')
>> axis([-pi,pi,-2,2])
>> grid on
>> legend('linea de puntos magenta',...
          'triangulos negros',...
          'cruces azules')

Plot VI

Plot VII

• La ventana gráfica se borra automáticamente cada vez que dibujamos algo
• Para cambiar el comportamiento anterior se usa la función hold
  • hold on mantiene todo lo dibujado en pantalla
  • hold off defuelve el comportamiento inicial
• Para borrar el contenido de la ventana se usa el comando clf

Plot VIII

• Las ventanas gráficas se manipulan con la función figure
• Cada ventana gráfica tiene asociada un número entero
  • figure se llama con un número que corresponde al de la ventana
  • Si utilizamos un número que no corresponde a ninguna ventana existente crearemos una nueva con este número asociado
  • Si utilizamos un número existente activaremos la ventana correspondiente.

Subplot

Es el comando que permite poner más de una figura en una misma ventana. Su uso es parecido al de combinar figure y plot.

>> x= linspace(-pi,pi,100);
>> subplot(2,2,1)
>> plot(x,sin(x))

De este modo generamos la primera de las subfiguras en el primero de los cuatro sectores

Subplot II

Subplot III

Ahroa completamos los cuatro cuadrantes

>> subplot(2,2,2)
>> plot(x,cos(x))
>> subplot(2,2,3)
>> plot(x,sinh(x))
>> subplot(2,2,4)
>> plot(x,cosh(x))

Subplot IV

Otros comandos

Ejercicio

Representar en una misma ventana y dos frames (uno superior y otro inferior) la función:

en escala normal y en escala semilogarítmica en el eje x

Contour

La mejor manera de representar superficies en tres dimensiones es representar su proyección en el plano mediante isolíneas. La ventaja de esta representación es que permite conocer el valor de la función con mucha más precisión. Probad lo siguiente

>> contour(peaks)

Plot handles

• La función plot puede devolver una variable con todas las propiedades del dibujo.
• Un Plot handle es en realidad una estructura.
• La función get sirve para obtener el valor de una propiedad.
• La función set serve para cambiarlo.

Plot handles

octave:1> p=plot([1,2,3,2,1])
p = -2.3944
octave:2> get(p)
ans =
{
  tag =
  type = line
  parent = -1.8402
  children = [](0x0)
  __modified__ =  1
  xdata =

     1
     2
     3
     4
     5
(...)

Plot handles

Plot handles

>> set(p,'linewidth',2)
>> set(p,'marker','o')
>> set(p,'markersize',12)
>> set(p,'markeredgecolor','r')
>> t=title('masmejor')
>> set(t,'fontsize',14)
>> set(t,'color','g')
>> h=fill([1,2,3,4,5],[1,2,3,2,1],'y')

Plot handles

EDOs

• Es probablemente una de las aplicaciones más importantes del cálculo numérico
• Los problemas más comunes son los problemas de Cauchy (evolución temporal)
• En el caso de ecuaciones no lineales la solución numérica es esencial. Puede ser que la solución analítica no se pueda hallar
• Lo más importante es saber si nuestro problema es stiff

EDOs II

• Se dice que un problema es stiff cuando el paso temporal de integración viene determinado por la estabilidad del esquema, no por la precisión
• Suelen relacionarse con funciones que introducen fuertes gradientes o condiciones de contorno restrictivas
• Suelen asociarse a problemas no lineales
• Requieren esquemas de integración temporal implícitos

EDOs III

• Hay más funciones pero con estas tres basta
• Las funciones terminadas con s son para problemas stiff

EDOs IV

Un caso típico es la ecuación de Van der Pol

Dependiendo del valor del coeficiente `\mu` el problema es stiff o no.

EDOs V

Para resolver el problema no stiff utilizamos un esquema Runge-Kutta, ode45:

>> lsode_options('integration method','non-stiff');
>> y=lsode(@vdp1,[0 2],linspace(0,20,1000);
>> plot(linspace(0,20,1000),xout(:,1));

EDOs VI

EDOs VII

• Si ahora intentamos resolver el problema para `\mu` =1000 con la misma función nos encontramos con la desagradable sorpresa de que no termina nunca.

• Esto es porque el problema es stiff. Para resolverlo cambiamos el método de integración a uno implícito:

  >> lsode_options('integration method','stiff');
  >> y=lsode(@vdp1,[0 2],linspace(0,3000,100000);
  >> plot(linspace(0,3000,100000),xout(:,1));
  

EDOs VIII

Ejercicio 8

Resolver el siguiente problema no stiff

Con a =10, b =28 y c =8/3, `t \in [0,50]` y `(x_0,y_0,z_0)=(1,1,1)` y representar la solución en tres dimensiones como una curva paramétrica con plot3

El resultado...

Ejercicio

A partir de dos series de datos